Brüche addieren und subtrahieren

Wie addiert und subtrahiert man Brüche? Wie geht die Addition und Subtraktion ohne gemeinsamen Nenner? Antworten dazu sowie den Umgang mit mehreren Brüchen, Klammern und Variablen beim Addieren und Subtrahieren lernst du hier. Ich versuche die Inhalte so einfach zu erklären, wie ich dies selbst bei meiner Oma (lange aus der Schule raus) tun würde. Die Inhalte liegen als Text und als Video vor.

In der Bruchrechnung geht es darum Anteile an etwas Ganzem darzustellen. Brüche zu addieren bedeutet das Anteile dazukommen. Brüche zu subtrahieren bedeutet Anteile zu entfernen. So können Pizzastücke aus der Pizzaschachtel herausgenommen werden oder wieder zurück gelegt werden. In der folgenden Grafik sind 3 von 8 Teilen orange gefärbt und 5 von 8 Teilen grün. Wichtig: Die 8 Stücke müssen alle gleich groß sein.

Die Addition und Subtraktion von Brüchen ist ein ganz wichtiger Teil der Bruchrechnung. Sehen wir uns Aufgaben mit steigendem Schwierigkeitsgrad dazu an.

Wie addiert und subtrahiert man einen Bruch?

Unter der Voraussetzung gleicher Nenner können Brüche sehr einfach addiert und subtrahiert werden. Bei einer Addition werden die Zähler addiert, während der Nenner unverändert in das Ergebnis übernommen wird.

Sind die Nenner aller Brüche gleich werden diese als gleichnamige Brüche bezeichnet. Gleichnamige Brüche lassen sich auch sehr einfach subtrahieren. Bei der Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner werden die Zähler subtrahiert und der Nenner wird beibehalten.

Die Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen kann auch in einer einzigen Aufgabe vorkommen. Sind die Brüche gleichnamig (= alle Nenner gleich) können nacheinander Zähler addiert oder subtrahiert werden. Kommen nur Addition und Subtraktion bei der Bruchrechnung vor, wird die Aufgabe von links nach rechts gelöst.

Hinweis: Der Bruch 6 : 12 kann noch gekürzt werden. Da hier der Schwerpunkt erst einmal auf der Addition oder Subtraktion der Brüche liegt wurde dieser Schritt jedoch erst einmal nicht durchgeführt.

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Wie addiert oder subtrahiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?

Die Addition oder Subtraktion von Brüchen mit verschiedenen Nennern funktioniert nach folgendem Plan:

1. Gemeinsamen Nenner berechnen.
2. Brüche auf gemeinsamen Nenner erweitern.
3. Brüche addieren und subtrahieren.
4. Ergebnis falls möglich kürzen.

Als Beispiel sollen zwei ungleichnamige Brüche addiert werden. Ungleichnamig bedeutet, dass die Nenner verschieden sind. Dies kann man sich grafisch verdeutlichen, in dem die Anteile unterschiedlich groß dargestellt werden.

Um diese Aufgabe aus der Bruchrechnung zu lösen, muss zunächst ein gemeinsamer Nenner gefunden werden. Der einfachste Weg für Brüche mit kleinen Zahlen besteht darin die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren.

Beide Brüche müssen auf den Nenner 12 erweitert werden. Um den ersten Bruch auf den Nenner 12 zu bringen, wird dieser mit 3 multipliziert. Um den zweiten Bruch auf den Nenner 12 zu bringen, wird dieser mit 4 multipliziert. Das Erweitern des Bruchs findet in Zähler und Nenner statt: Die Zähler müssen ebenfalls mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

Als letzten Punkt steht das Kürzen des Bruchs an. Kürzen bedeutet den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl zu teilen. Dies ist hier jedoch nicht möglich, daher ist 11 : 12 das Ergebnis dieser Aufgabe.

Wie werden werden Brüche addiert und subtrahiert in einer Aufgabe?

Brüche können in einer Aufgabe addiert und subtrahiert werden. Für die Addition oder Subtraktion müssen alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Folgende Aufgabe soll als Beispiel dienen.

Die drei Nenner sind mit 2, 3 und 5 verschiedenen. Um einen gemeinsamen Nenner zu bestimmen, multiplizieren wir diese miteinander.

Die drei Brüche müssen erweitert werden. Erweitern bedeutet Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Um auf 30 im Nenner zu kommen, müssen die Brüche mit 15, 10 und 6 multipliziert werden. Diese Multiplikation führen wir auch im Zähler aus. Danach kann die Rechnung wie mit einem gleichnamigen Bruch beendet werden.

Die Lösung der Aufgabe lautet -13 : 30.

Wie funktioniert die Addition und Subtraktion von Brüchen mit Klammern?

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen mit Klammern wird der Inhalt der Klammer zuerst berechnet. Im nächsten Beispiel sind die Nenner in der Klammer verschieden.

Ein gemeinsamer Nenner wird durch Multiplikation gefunden.

Um beide Nenner in der Klammer auf 10 zu bringen, wird der erste Bruch mit 5 und der zweite Bruch mit 2 erweitert.

In der Klammer werden die Zähler und Nenner vereinfacht.

Die Klammer wird berechnet. Das Ergebnis in der Klammer ist + 50 : 10. Vor der Klammer bleibt das Minuszeichen stehen. Treffen zwei verschiedene Zeichen aufeinander, wird daraus ein Minuszeichen. Daher wird 3 - 50 = - 47 der Zähler des Ergebnisses während die 10 im Nenner beibehalten wird.

Wie werden Brüche addiert oder subtrahiert bei gemischten Zahlen?

Um mit gemischten Zahlen bzw. gemischten Brüchen zu rechnen, müssen diese erst umgewandelt werden. Als Beispiel dient uns eine Subtraktionsaufgabe.

Die vordere gemischte Zahl (Minuend) wird zuerst in einen Bruch aus nur Zähler und Nenner umgewandelt. Dazu wird die ganze Zahl mit dem Nenner 3 erweitert. Im Anschluss können die gleichnamigen Brüche addiert werden

Die hintere gemischte Zahl (Subtrahend) wird ebenfalls in einen Bruch aus nur Zähler und Nenner umgewandelt. Dazu wird die ganze Zahl mit dem Nenner 4 erweitert. Im Anschluss können die gleichnamigen Brüche addiert werden

Die gemischten Zahlen werden in Brüche mit nur einem Zähler und Nenner umgewandelt. Da diese Brüche mit 3 und 4 im Nenner ungleichnamig sind, erweitern wir sie auf 12, denn 3 · 4 = 12. Im Anschluss können die Brüche einfach subtrahiert werden.

Wie funktioniert die Addition und Subtraktion von Brüchen mit Einheiten und Variablen?

Die Addition und Subtraktion von Brüchen kann auch mit Einheiten durchgeführt werden. Unter Einheiten werden zum Beispiel Längeneinheiten (Meter, Zentimeter, ...), Gewichtseinheiten (Kilogramm, Gramm, Tonne, ...) und andere verstanden.

Beim Rechnen mit Einheiten muss jedoch darauf geachtet werden stets die gleiche Einheit zu verwenden. Im nächsten Beispiel liegen drei Brüche mit Angaben in Gramm vor. Da die Brüche gleichnamig sind kann zunächst subtrahiert und danach addiert werden.

Die Addition, Subtraktion oder beides kann auch bei Brüchen mit Variablen durchgeführt werden. Variablen (= Buchstaben) sind Platzhalter für Zahlen, die später einmal eingesetzt werden können. Die gleiche Variable bedeutet am Ende die gleiche Zahl einzusetzen. Das nächste Beispiel zeigt drei gleichnamige Brüche mit Variablen.

Ein Hinweis noch zum Rechnen mit Variablen: Der Nenner eines Bruchs darf niemals Null werden, denn durch 0 darf in der Mathematik nicht geteilt werden. Daher ist x = 0 nicht erlaubt.

Wie sieht eine Sachaufgabe mit Brüche Addition und Subtraktion aus?

Sachaufgaben bzw. Textaufgaben werden auch in der Bruchrechnung gestellt. Als Beispiel haben wir einen vollen Wasserkasten mit 16 Flaschen. Es werden 11 Flaschen entnommen und 4 leere Flaschen in den Kasten zurück gestellt. Schreibe die Aufgabe in Form von Brüchen auf.

Lösung: Zunächst sind 16 von 16 Flaschen im Wasserkasten.

11 von 16 Flaschen werden entnommen.

Zu den 5 vollen Flaschen werden 4 leere Flaschen zusätzlich in den Kasten gestellt.

Am Ende sind von 16 Flaschen nur 9 Flaschen im Kasten, davon 4 leere Flaschen.