Potenzgesetze: Addition, Wurzel, Klammern und mehr

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Sonntag, 11. Oktober 2020 um 19:58 Uhr

Kann man die Potenzgesetze (Potenzregeln) so einfach erklären, dass jeder diese versteht? Wir versuchen es hier. Stellt euch vor ein Schüler kommt nach der Schule zu seiner Oma und versucht ihr zu erklären, welche Potenzgesetze es gibt und wie man diese benutzt. Glaubt ihr eine echte Oma würde die folgenden Erklärungen verstehen?

Schüler: Weißt du denn noch was Potenzen sind?

Oma: Naja, der Opa hatte es mit seiner Potenz irgendwann nicht mehr so.

Schüler: Das wollte ich gar nicht wissen. Ich meinte Potenzen in der Mathematik.

Oma: Nein. Zeig mal.

Schüler: Potenzen sind in der Mathematik Abkürzungen für Multiplikationen.

Potenzgesetze: Was ist eine Potenz?

Schüler: Bei der Potenz gibt es die große Zahl unten. Diese nennt man Basis. Die kleine Zahl oben ist der Exponent oder auch Hochzahl genannt. Rechnet man die Potenz aus erhält man den Potenzwert.

Potenzgesetze Begriffe

Oma: Du musst mir schon zeigen wie man damit rechnet.

Hinweis:

Sobald du diesen Artikel verstanden hast, stelle dir mal folgende Frage: Kannst du Aufgaben zur schriftlichen Division selbst lösen? Finde es raus mit unseren Fragen und Aufgaben zu diesem Thema. Weiter zur ersten Aufgabe Potenzgesetze.

Potenzgesetze: Addition und Subtraktion

Schüler: Dann fangen wir bei den einfachen Sachen an. Potenzen kann man addieren (plus rechnen) und subtrahieren (minus rechnen). Wenn die Basis und der Exponent gleich sind kann man einfach die Zahlen davor addieren bzw. subtrahieren.

Oma: Ah das hast du mit diesen beiden Gleichungen gemeint.

Potenzgesetz Addition Beispiel

Schüler: Genau. Einfach die Zahlen vor den Potenzen addieren. Oder wie in der nächsten Grafik subtrahieren.

Potenzgesetz Subtraktio

Schüler: Es gibt auch die Möglichkeit das bei der Hochzahl eine Addition vorkommt.

Oma: Was mache ich dann?

Schüler: Ich schreibe dir mal das allgemeine Potenzgesetz gleich mit einem Beispiel hin. Achte einfach auf die Zahlen. Wir haben hier mit a eine gleiche Basis auf beiden Seiten.

Potenzgesetze: Addition im Exponenten


Potenzgesetze Wurzel und Brüche

Schüler: Es gibt auch Potenzgesetze, die im Zusammenhang mit Wurzeln stehen. In der Schule wird oft die Quadratwurzel behandelt, also die Wurzel aus 4 wäre 2. Es gibt jedoch auch die n-te Wurzel aus einer Zahl. Dies kann man in eine Potenz umwandeln.

Potenzgesetz Wurzel Beispiel 1

Oma: Auch dies verstehe ich eigentlich nur mit den Zahlen.

Schüler: Das reicht auch erst einmal. Man kann dieses Potenzgesetz erweitern in dem man unter der Wurzel noch eine Potenz hat und nicht nur eine Zahl.

Potenzgesetze Wurzel Beispiel 2

Oma: Nicht gerade einfach.

Schüler: Dann machen wir als nächstes Potenzen im Zusammenhang mit Klammern.

Klammern und Potenzen

Oma: Was schreibst du denn hier hin?

Schüler: Potenzen und Klammern können auch gemeinsam in einer Aufgabe vorkommen. Schau erst einmal auf das Beispiel, ich erkläre es im Anschluss:

Potenzgesetze Klammern

Oma: Die Hochzahl 3 bedeutet, dass ich die Klammer 3 Mal schreibe?

Schüler: Genau. Um dies dann auszurechnen rechne ich erst einmal die erste Klammer mal der zweiten Klammer. Das Ergebnis multipliziere ich mit der dritten Klammer um das Gesamtergebnis zu bekommen.

Oma: Gibt es für so eine Berechnung auch eine Formel?

Schüler: Ich glaube nicht. Ich stelle dir gleich noch ein Potenzgesetz vor bei dem noch eine Klammer vorkommt.

Gleicher Exponent, Multiplikation Potenzen

Schüler: Hier haben wir noch eine Potenzregel, bei welcher der Exponent gleich ist. Die Zahl unten (Basis) ist verschieden, die Hochzahl oben ist jedoch gleich. In diesem Fall kann man die beiden Basen einfach miteinander multiplizieren und behält den Exponenten bei.

Potenzgesetze Formel: Beispiel 4, unterschiedliche Basen

Oma: Eigentlich muss ich doch immer nur hergehen und sehen, wo ich gleiche Buchstaben finde und diese Zahlen sind gleich?

Schüler: Ja, die Buchstaben nennt man Variablen. Diese sind in der Gleichung immer gleich, zum Beispiel bei der Berechnung eben a = 2, b = 4 und n = 3.

Oma: Was helfen mir denn diese Rechenregeln?

Schüler: Sie helfen dabei Potenzen umzuformen um etwas anspruchsvollere Aufgaben in der Mathematik zu lösen. Außerdem meinte der Lehrer wir sollen allgemein lernen mit Formeln und Gleichungen umzugehen.

Gleiche Basis, Potenzen multiplizieren

Oma: War es das jetzt mit Potenzgesetzen?

Schüler: Zwei habe ich noch. Beim nächsten Gesetz ist die Basis (also die Zahl unten) gleich. Die Exponenten (die Zahlen oben) sind hingegen verschieden. Im nächsten Beispiel ist a = 3, n = 2 und m = 5.

Potenzgesetze Formel Beispiel 3

Oma: Wenn ich Zahlen einsetze kann ich doch auch kontrollieren, ob ich mich auf der linken oder rechten Seite der Gleichung verrechnet habe?

Schüler: Nicht ganz. Du kannst sehen, ob du links und rechts die gleiche Zahl berechnest. Sind diese verschieden hast du dich auf einer der beiden Seiten verrechnet.

Oma: OK. Oder ich habe mich auf beiden Seite verrechnet.

Schüler: Das ist auch möglich.

Potenzregel Bruch

Schüler: Ein Gesetz habe ich noch nicht erwähnt. Es gibt noch ein Potenzgesetz für Brüche.

Oma: Wie ist das gemeint?

Schüler: Wir haben eine Potenz im Zähler und eine Potenz im Nenner. Die Hochzahl - also die kleine Zahl oben - ist gleich. In diesem Fall kann man die Basen in einen Bruch schreiben und hoch dem gemeinsamen Exponenten nehmen. Formel und Beispiel:

Potenzgesetz Bruch Formel Beispiel 5

Oma: Muss ich mir das alles merken?

Schüler: Nein. Dafür gibt es Formelsammlungen. Aber anwenden sollen wir es können. Dafür gibt es Übungen zur Potenzregel.

Aufgaben / Übungen Potenzgesetze

Aufgabe 1:

Glaubt ihr das Thema Potenzgesetze verstanden zu haben? Möchtet ihr das Thema ein bisschen üben? Wir bieten euch hier die Möglichkeit Aufgaben zu rechnen und sich die Lösung dabei anzusehen. Fragen und Aufgaben können per Klick übersprungen werden. Wie lautet die Lösung dieser Aufgabe? Verwende die passende Potenzegel.

Potenzgesetze Aufgabe 1 Aufgabenstellung

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