Teilbarkeitsregeln und Teilbarkeit

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 03. August 2021 um 13:06 Uhr

Was versteht man unter Teilbarkeit? Welche Teilbarkeitsregeln gibt es und wie benutzt man diese? Wozu braucht man eine Quersumme? Diese Antworten und mehr bekommst du hier als Text und als Video. Ich versuche alles so einfach zu erklären, wie ich dies selbst bei meiner Oma (lange aus der Schule raus) tun würde.


Was bedeutet Teilbarkeit?

  • Zwei natürliche Zahlen werden durcheinander geteilt.
    • Entsteht dabei kein Rest (keine Kommazahl) ist ein Teiler der ersten Zahl gefunden.
    • Entsteht ein Rest (eine Kommazahl) ist kein Teiler der ersten Zahl gefunden.


Beispiel:

  • 10 : 3 = 3 Rest 1
  • 11 : 3 = 3 Rest 2
  • 12 : 3 = 4
  • 13 : 3 = 4 Rest 1
  • 14 : 3 = 4 Rest 2
  • 15 : 3 = 5

In den Fällen 12 : 3 = 4 und 15 : 3 = 5 entsteht kein Rest. Daher ist die 3 ein Teiler der Zahlen 12 und 15. Die Zahlen 10, 11, 13 und 14 können nicht durch 3 geteilt werden ohne das ein Rest entsteht. Daher ist die 3 kein Teiler dieser Zahlen.


Was sind die Teilbarkeitsregeln?

  • Die Teilbarkeitsregeln dienen dazu schnell herauszufinden, ob eine Zahl durch eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist.
  • In der Regel wird kein Taschenrechner für die Berechnung benötigt.


Was ist die Quersumme?

  • Die Quersumme wird bei manchen Teilbarkeitsregeln benötigt.
  • Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Ziffern.


Beispiele:

  • 451: Quersumme ist 4 + 5 + 1 = 10.
  • 782: Quersumme ist 7 + 8 + 2 = 17.
  • 5412: Quersumme ist 5 + 4 + 1 + 2 = 12.

Mehr zur Quersumme unter Quersumme bilden.


Teilbarkeitsregeln 2 bis 5

Teilbarkeitsregel 2: Ist eine Zahl durch 2 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar wenn die letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.


Beispiele:

  • 12, 28, 36, 54, 66, 100 sind durch 2 teilbar.
  • 13, 51, 75, 87, 99, 101 sind nicht durch 2 teilbar.


Teilbarkeitsregel 3: Ist eine Zahl durch 3 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist.


Beispiele:

  • 235:
    • Quersumme ist 2 + 3 + 5 = 10.
    • 10 : 3 = 3 Rest 1
    • Ein Rest bedeutet das 3 kein Teiler von 235 ist.
  • 369:
    • Quersumme ist 3 + 6 + 9 = 18.
    • 18 : 3 = 6
    • Da kein Rest vorhanden ist ist 3 ein Teiler von 369.


Teilbarkeitsregel 4: Ist eine Zahl durch 4 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind.


Beispiele:

  • 740:
    • Die letzten beiden Stellen sind 40.
    • 40 : 4 = 10.
    • Daher ist 740 : 4 ohne Rest teilbar.
  • 833:
    • Die letzten beiden Stellen sind 33.
    • 33 : 4 = 8 Rest 1.
    • Daher ist 833 : 4 nur mir Rest teilbar.

Teilbarkeitsregel 5: Ist eine Zahl durch 5 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist.


Beispiele:

  • 434:
    • Die letzte Stelle ist eine 4.
    • Daher ist 434 : 5 nur mit Rest teilbar.
  • 885:
    • Die letzte Stelle ist eine 5.
    • Daher ist 885 : 5 ohne Rest teilbar.


Teilbarkeitsregeln 6 bis 10

Teilbarkeitsregel 6: Ist eine Zahl durch 6 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 6 teilbar wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist.


Beispiel:

  • 882:
    • Teilbarkeitsregel 2:
      • Endet auf 2, daher durch 2 teilbar.
    • Teilbarkeitsregel 3:
      • Quersumme: 8 + 8 + 2 = 18.
      • 18 : 3 = 6.
      • Rechnung ist ohne Rest.
    • 882 ist durch 2 und durch 3 teilbar.
    • Daher ist 882 auch durch 6 teilbar.
  • 884:
    • Teilbarkeitsregel 2:
      • Endet auf 4, daher durch 2 teilbar.
    • Teilbarkeitsregel 3:
      • 8 + 8 + 4 = 20.
      • 20 : 3 = 6 Rest 2.
      • Rechnung ergibt Rest.
      • Daher nicht durch 3 teilbar.
    • Nicht durch 3 teilbar, daher nicht durch 6 teilbar.


Teilbarkeitsregel 7: Ist eine Zahl durch 7 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 7 teilbar wenn folgendes stimmt: Die letzte Ziffer zu allem davor abtrennen, letzte Stelle mit 2 multiplizieren, vorderen Teil nehmen und dies abziehen. Dieses Ergebnis muss durch 7 teilbar sein. In dem Fall ist auch die Zahl durch 7 teilbar.


Beispiel:

Ist die Zahl 161 durch 7 teilbar?

  • Wir teilen die Zahl in zwei Bestandteile auf. Die letzte Ziffer (1) und alle Ziffern die davor sind (16).
    • 16 1.
  • Wir multiplizieren die letzte Ziffer der Zahl (1) mit 2:
    • 1 · 2 = 2.
  • Von dem vorderen Teil (16) der Ausgangszahl (161) ziehen wir dieses Ergebnis (2) ab.
    • 16 - 2 = 14.
  • Das Ergebnis (14) ist durch 7 ohne Rest teilbar.
  • Daher ist auch 161 durch 7 teilbar.


Teilbarkeitsregel 8: Ist eine Zahl durch 8 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 8 teilbar wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind.


Beispiel:

  • 74840
    • Die letzten 3 Stellen sind 840.
    • 840 : 4 = 210.
    • Kein Rest bei der Berechnung.
    • Daher ist 74840 : 7 ohne Rest teilbar.
  • 45034
    • Die letzten Stellen sind 034.
    • 34 : 7 = 4 Rest 6.
    • Es entsteht ein Rest.
    • Daher ist 45034 : 7 nur mit Rest teilbar.


Teilbarkeitsregel 9: Ist eine Zahl durch 9 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar wenn die Quersumme (Summe der Ziffern) durch 9 teilbar ist.


Beispiel:

  • 45783
    • Quersumme: 4 + 5 + 7 + 8 + 3 = 27.
    • 27 : 9 = 3.
    • Es entsteht kein Rest.
    • Daher ist 45783 : 9 teilbar ohne Rest.
  • 58421
    • 5 + 8 + 4 + 2 + 1 = 20.
    • 20 : 9 = 2 Rest 2.
    • Es entsteht ein Rest.
    • Daher ist 9 kein Teiler von 58421.


Teilbarkeitsregel 10: Ist eine Zahl durch 10 teilbar?

  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar wenn die letzte Stelle eine 0 ist.


Beispiele:

  • 20, 50, 80, 100, 230, 8770 sind durch 10 teilbar.
  • 76, 83, 91, 29, 876, 542 sind nicht durch 10 teilbar.

Durch mehrere Zahlen teilbar

Welche Zahlen sind durch 5 und 3 teilbar?

  • Es gibt mehrere Möglichkeiten passende Zahlen zu erzeugen. Eine Möglichkeit:
  • Wir multiplizieren die Zahlen miteinander:
    • 3 · 5 = 15
    • Vielfache: 15, 30, 45, 60, ....
  • 15, 30, 45, 60, ... sind durch 3 und 5 teilbar.


Welche Zahlen sind durch 3, 6 und 9 teilbar?

  • Es gibt mehrere Möglichkeiten passende Zahlen zu erzeugen. Eine Möglichkeit:
  • Wir multiplizieren die Zahlen miteinander:
    • 3 · 6 · 9 = 162
    • Vielfache: 162, 324, 486, ...
  • 162, 324, 486, ... sind durch 3, 6 und 9 teilbar.
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