Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Beispiele

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? Wie kann man das kgV berechnen? Du lernst hier mit einer Zahlenreihe und mit der Primfaktorzerlegung wie man das kgV berechnet. Ich versuche die Inhalte so einfach zu erklären, wie ich dies selbst bei meiner Oma (lange aus der Schule raus) tun würde. Die Inhalte liegen als Text und als Video vor.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist. Für kleine Zahlen lässt sich das kgV sehr einfach mit Zahlenreihen berechnen. Als Beispiel schreiben wir uns die Vielfachen von 2 und 4 auf:

Wir suchen die kleinste Zahl, welche in beiden Zahlenreihen auftaucht. Dies ist die Zahl 4, hier rot markiert. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 4 ist damit 4. Dies kann mit kgV(2,4) = 4 beschreiben.

Als weiteres Beispiel ist das kgV von 6 und 8 gesucht. Wir bilden die Zahlenreihen für die Vielfachen von 6 und 8.

Die kleinste gemeinsame Zahl ist die 24. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist damit kgV(6,8) = 24.

Primfaktorzerlegung für kgV

Mit der Primfaktorzerlegung lässt sich das kleinste gemeinsame Vielfache ermitteln. Die Zerlegung in Primfaktoren setzt man insbesondere ein wenn die Zahlen größer werden. Um dies zu verstehen, sehen wir uns einmal das kleinste gemeinsame Vielfache für 2 Zahlen an.

Als Beispiel soll das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Zahlen 99 und 351 mit der Primfaktorzerlegung berechnet werden. Die Zerlegung in Primfaktoren bedeutet eine Zahl in eine Multiplikation möglichst kleiner Zahlen zu zerlegen. Die 99 zerlegen wir daher in 3 · 33 und die 33 zerlegen wir in 3 · 11.

Die Primfaktorzerlegung ergibt sich somit zu 99 = 3 · 3 · 11. Hier kommt die Zahl 3 insgesamt 2 Mal vor und die 11 ein einziges Mal. Daher können wir dies in Form einer Potenz schreiben. So eine Zerlegung in Primfaktoren führen wir nun noch für die Zahl 351 durch.

Die Primfaktorzerlegung bringen wir ebenfalls wieder in der Potenzschreibweise. Hinweis: Falls du Probleme hast die Zerlegung in Primfaktoren durchzuführen, solltest du noch einen Blick in die Inhalte unter Primfaktorzerlegung und Teilbarkeitsregeln werfen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aus 99 und 351 finden wir, indem wir jede Basis aus beiden Zerlegungen ansehen und jeweils den höchsten Exponenten nehmen. Bei der Zerlegung haben wir 3² und 3³ erhalten. Die 3³ ist größer als die 3², daher nehmen wir diese Potenz. Die Basis 11 und die Basis 13 gibt es nur bei einer Zerlegung, daher nehmen wir diese ebenfalls mit 11¹ und 13¹. Dadurch können wir das kgV berechnen:

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Kleinstes gemeinsames Vielfaches für 3 Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache kann auch bei 3 Zahlen mit der Primfaktorzerlegung ermittelt werden. Als Beispiel soll das kgV von 88, 144 und 198 berechnet werden. Dazu führen wir für jede Zahl eine Primfaktorzerlegung durch. Nach der Zerlegung in Primfaktoren bringen wir jede Zerlegung in Potenzform. Im Anschluss suchen wir uns für jede Basis (2, 3 und 11) die höchste Potenz raus und multiplizieren diese miteinander.

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist damit 1584. Folgende Schreibweise kann auch verwendet werden: kgV(88, 144, 198) = 1584.

Eine weitere Anwendung der Primfaktorzerlegung ist das Finden des größten gemeinsamen Teilers. Beides - also sowohl kgV als auch ggT - werden in der Bruchrechnung eingesetzt.