Klammern auflösen und zusammenfassen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Samstag, 18. Juli 2020 um 14:36 Uhr

Kann man das Klammern auflösen und zusammenfassen so einfach erklären, dass jeder dies versteht? Wir versuchen es hier. Stellt euch vor ein Schüler kommt nach der Schule zu seiner Oma und versucht ihr zu erklären, wie man Klammern auflöst. Glaubt ihr eine echte Oma würde die folgenden Erklärungen verstehen?

Schüler: Weißt du noch wofür eine Klammer in der Mathematik steht?

Oma: Das hattest du mal erwähnt. Das man eine Klammer zuerst berechnen muss.

Schüler: Stimmt. Eine Klammer rechnet man vor Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Oma: OK. Verstehe ich.

Schüler: Weißt du denn wie man eine Klammer beseitigt? Zum Beispiel bei 3 (2 + 5).

Oma: Ich rechne aus was in der Klammer steht, also 2 + 5 = 7 und danach 3 · 7 = 21.

Schüler: So kann man das machen. Aber wie mache ich das denn wenn ein x - also eine Variable - vorhanden ist?'

Oma: Keine Ahnung. Das musst du mir mal zeigen.

Hinweis:

Sobald du diesen Artikel verstanden hast, stelle dir mal folgende Frage: Kannst du Aufgaben mit Klammern selbst lösen? Finde es raus mit unseren Fragen und Aufgaben zu diesem Thema. Weiter zur ersten Aufgabe Klammern auflösen.

Klammern auflösen mit x als Variable

Schüler: Nehmen wir noch einmal das Beispiel von eben. Man kann dieses auch lösen indem man die Zahl vor der Klammer mit allem in der Klammer einzeln multipliziert.

  • 3 · (2 + 5)
  • = 3 · 2 + 3 · 5
  • = 6 + 15
  • = 21

Oma: Wie ist das jetzt mit den Variablen?

Schüler: Nehmen wir an wir kennen die Zahl 5 in der Klammer nicht. Daher schreiben wir dafür einmal die Variable x hin. Auch in diesem Fall kann man die Klammer auflösen und zusammenfassen. Anstatt der 5 steht einfach ein x da.

  • 3 · (2 + x)
  • = 3 · 2 + 3 · x
  • = 6 + 3x

Oma: Weiter zusammenfassen geht nicht?

Schüler: Nein. Wir kennen x nicht. Daher können wir nicht weiter zusammenfassen.

Oma: Jetzt verstehe ich aber warum man das ausmultiplizieren auf diese Art und Weise braucht. Kenne ich nicht alle Zahlen in der Klammer kann ich in der Klammer gar nicht rechnen.

Schüler: Exakt. Ein weitere Beispiel rechne ich auch mal vor.

  • (x + 3) · 4
  • = x · 4 + 3 · 4
  • = 4x + 12

Schüler: Eins habe ich noch vergessen. Steht vor der Klammer kein Rechenzeichen wird dafür eine Multiplikation angekommen. Man kann (x + 3) · 4 auch mit (x + 3) 4 abkürzen.


Zwei Klammern auflösen

Schüler: Nehmen wir als nächstes einmal den Fall, dass es zwei Klammern gibt. und diese aufgelöst werden sollen. Wie macht man das?

Oma: Keine Ahnung. Rechne mal ein Beispiel vor.

Schüler: Der "Trick" ist jeden Ausdruck der einen Klammer mit jedem Ausdruck der anderen Klammer zu multiplizieren. Ich nehme einfach mal ein paar Zahlen für ein Beispiel:

  • (2 + 3)(4 + 5)
  • = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
  • = 8 + 10 + 12 + 15
  • = 45

Oma: Und das geht auch wenn Buchstaben vorhanden sind?

Schüler: Wenn Variablen dabei sind geht das auch.

  • (a + b)(c + d)
  • = a · c + a · d + b · c + b · d
  • = ac + ad + bc + bd

Oma: Wenn ich zwei Klammern habe muss ich jedes Element der einen Klammer mit jedem Element der anderen Klammer multiplizieren?

Schüler: So ist es. Ich mache gleich noch mal eine andere Art von Beispiel.

Klammer mit Potenz: Hoch 2

Oma: Wie meinst du das mit anderes Art von Beispiel?

Schüler: Eine Potenz. Eine Potenz ist die Abkürzung für eine Multiplikation. Zum Beispiel 32 = 3 · 3 = 9. Oder (2 + 3)2 = (2 + 3)(2 + 3). Danach kann man wieder diese Klammern auflösen.

Oma: Mach mal ein paar Beispiele.

Schüler: Machen wir erst einmal etwas mit Zahlen.

  • (3 + 4)2
  • = (3 + 4)(3 + 4)
  • = 3 · 3 + 3 · 4 + 4 · 3 + 4 · 4
  • = 9 + 12 + 12 + 16
  • = 49

Oma: Lass mich raten. Das gibt es auch wieder mit x als Variable?

Schüler: Das würde dann so aussehen.

  • (a + b)2
  • = (a + b)(a + b)
  • = a · a + a · b + b · a + b · b
  • = a2 + ab + ba + b2
  • = a2 + 2ab + b2

Aufgaben / Übungen Klammer auflösen

Aufgabe 1:

Glaubt ihr das Thema Klammern auflösen verstanden zu haben? Möchtet ihr das Thema ein bisschen üben? Wir bieten euch hier die Möglichkeit Aufgaben zu rechnen und sich die Lösung dabei anzusehen. Fragen und Aufgaben können per Klick übersprungen werden. Wie lautet die Lösung dieser Aufgabe?

  • 7 (2 + 1) = ?
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